Sucesiones y progresiones

Una sucesión es un conjunto ordenado de elementos, llamados términos, que cumplen una ley de formación, un criterio de orden o una fórmula de recurrencia. Lo esencial es que cada término ocupa un lugar fijo: primero, segundo, tercero, etc.

Por ejemplo:

$$5;7;9;11;13;\ldots$$

es una sucesión numérica: cada término se obtiene sumando $2$ al anterior.

$$1;4;9;16;25;\ldots$$

es otra sucesión: sus términos son los cuadrados perfectos.

También puede haber sucesiones literales:

$$B;D;F;H;\ldots$$

donde las letras avanzan de dos en dos en el alfabeto.

En general, denotamos los términos de una sucesión como:

$$t_1;\ t_2;\ t_3;\ t_4;\ \ldots;\ t_n;\ \ldots$$

donde $t_1$ es el primer término, $t_2$ el segundo, y $t_n$ es el término enésimo, es decir, el que ocupa el lugar $n$.

Término enésimo

El término enésimo es una fórmula que permite calcular cualquier término de la sucesión conociendo su lugar $n$. No siempre es fácil hallarlo; a veces hay que probar con varios patrones.

Ejemplo 1
Halla el término enésimo de:

$$2;\ 6;\ 12;\ 20;\ 30;\ \ldots$$

Observamos cada término junto a su posición:

| $n$ | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | | $t_n$ | 2 | 6 | 12 | 20 | 30 | | producto | $1\times 2$ | $2\times 3$ | $3\times 4$ | $4\times 5$ | $5\times 6$ |

Entonces:

$$t_n = n(n+1).$$

Comprobamos para $n=5$:

$$t_5 = 5(6) = 30.$$

Ejemplo 2
Halla el término enésimo de:

$$4;\ 9;\ 16;\ 25;\ 36;\ \ldots$$

Se observa que:

$$4 = 2^2,\quad 9 = 3^2,\quad 16 = 4^2,\quad 25 = 5^2,\quad 36 = 6^2.$$

Como el primer término corresponde a $(1+1)^2$, el segundo a $(2+1)^2$, etc., se tiene:

$$t_n = (n+1)^2.$$

En muchos problemas no es necesario hallar la fórmula general; basta descubrir la regla para calcular el término siguiente.

Una progresión aritmética (PA) es una sucesión en la que la diferencia entre un término y el anterior es siempre constante. Esa diferencia se llama razón aritmética y suele denotarse con $r$.

Definición formal

Una sucesión $a_1;a_2;a_3;\ldots$ es una PA si existe un número real $r$ tal que:

$$a_{n+1}-a_n = r \quad \text{para todo } n.$$

Es decir:

$$r = a_2 - a_1 = a_3 - a_2 = a_4 - a_3 = \cdots$$

Ejemplo
En $7;12;17;22;25?$ No, usemos $7;12;17;22;\ldots$

Diferencias:

$$12-7=5,\quad 17-12=5,\quad 22-17=5.$$

Por tanto, es una PA con $r=5$.

Término enésimo de una PA

Para llegar desde $a_1$ hasta $a_n$, hay que dar $n-1$ saltos de longitud $r$. Por eso:

$$\boxed{a_n = a_1 + (n-1)r}$$

Ejemplo
En la PA $7;12;17;22;\ldots$, hallemos $a_{20}$:

$$a_{20} = 7 + (20-1)\cdot 5 = 7+19\cdot 5 = 7+95 = 102.$$

Forma práctica lineal

Una PA también puede escribirse como una función lineal de $n$:

$$\boxed{a_n = r n + a_0}$$

donde $a_0$ es un "término anterior al primero", que se obtiene restando una razón a $a_1$:

$$a_0 = a_1 - r.$$

Justificación: si la fórmula es $a_n = r n + c$, cuando $n=1$ se tiene $a_1 = r + c$; despejando, $c=a_1-r$. A ese $c$ le llamamos $a_0$.

Ejemplo
En $7;12;17;22;\ldots$:

$$r=5,\qquad a_0=7-5=2.$$

Así:

$$a_n = 5n+2.$$

Comprobamos: $a_1=5(1)+2=7$, $a_2=5(2)+2=12$.

Esta forma es muy rápida cuando se necesita la fórmula general.

Propiedad del término central en una PA

Si tres números $a;b;c$ están en PA, el central es el promedio aritmético de los extremos:

$$\boxed{b = \frac{a+c}{2}}$$

o equivalentemente:

$$2b = a+c.$$

Esta propiedad es fundamental para resolver problemas donde se relaciona una PA con otras sucesiones.

Suma de los primeros $n$ términos de una PA

Si se pide la suma de los primeros $n$ términos de una PA, se usa:

$$\boxed{S_n = \frac{(a_1+a_n)n}{2}}$$

También se puede escribir como:

$$S_n = \frac{n}{2}\left[2a_1+(n-1)r\right].$$

Ejemplo breve
Sumemos los primeros $10$ términos de $7;12;17;22;\ldots$

Primero hallamos $a_{10}$:

$$a_{10}=7+9\cdot 5=52.$$

Entonces:

$$S_{10} = \frac{(7+52)\cdot 10}{2} = 295.$$

Aunque en el examen las preguntas más frecuentes piden hallar términos, conviene dominar también la suma.

Una progresión geométrica (PG) es una sucesión en la que cada término se obtiene multiplicando el anterior por una constante llamada razón geométrica, denotada por $q$.

Definición formal

$$q = \frac{a_2}{a_1} = \frac{a_3}{a_2} = \frac{a_4}{a_3} = \cdots$$

Ejemplo
En $2;6;18;54;162;\ldots$

$$\frac{6}{2}=3,\quad \frac{18}{6}=3,\quad \frac{54}{18}=3.$$

Por tanto, es una PG con $q=3$.

Término enésimo de una PG

Para llegar de $a_1$ a $a_n$ se multiplica $n-1$ veces por $q$:

$$\boxed{a_n = a_1 q^{n-1}}$$

Ejemplo
En $2;6;18;54;\ldots$, hallemos $a_8$:

$$a_8 = 2 \cdot 3^{8-1} = 2\cdot 3^7 = 2\cdot 2187 = 4374.$$

Propiedad del término central en una PG

Si tres números $a;b;c$ están en PG, el cuadrado del término central es igual al producto de los extremos:

$$\boxed{b^2 = a c}$$

Justificación: como $b/a = c/b$, multiplicando en cruz se obtiene $b^2=ac$.

Esta propiedad es una de las más usadas en los problemas de admisión porque permite plantear rápidamente una ecuación.

Suma de los primeros $n$ términos de una PG

Si $q\neq 1$,

$$\boxed{S_n = a_1\cdot \frac{q^n-1}{q-1}}$$

Si la razón es una fracción entre $-1$ y $1$, y se pide la suma de infinitos términos, se usa:

$$\boxed{S_\infty = \frac{a_1}{1-q}}$$

pero esto último es menos frecuente en los problemas de hallazgo de términos.

No todas las sucesiones son PA o PG. Muchas tienen diferencias crecientes, pero esas diferencias aumentan de manera constante.

Observa:

$$5;\ 11;\ 19;\ 29;\ 41;\ \ldots$$

Las diferencias entre términos consecutivos son:

$$11-5=6,\quad 19-11=8,\quad 29-19=10,\quad 41-29=12.$$

Las primeras diferencias no son constantes, pero sus diferencias sí:

$$8-6=2,\quad 10-8=2,\quad 12-10=2.$$

Cuando la segunda diferencia es constante, la sucesión es cuadrática, y su término enésimo tiene la forma:

$$\boxed{t_n = a n^2 + b n + c}$$

Método de diferencias finitas para una sucesión cuadrática

Para hallar $a$, $b$ y $c$ sin resolver un sistema de ecuaciones, se usa un atajo.

Sea $r$ la segunda diferencia constante.
Sea $m_1$ la primera diferencia entre $t_1$ y $t_2$.

Calculamos:

$$m_0 = m_1 - r$$

que es la primera diferencia "anterior" a la primera, es decir, la que habría entre $t_0$ y $t_1$.

Luego calculamos:

$$t_0 = t_1 - m_0.$$

Una vez obtenidos $r$, $m_0$ y $t_0$, los coeficientes son:

$$a = \frac{r}{2},\qquad b = m_0 - a,\qquad c = t_0.$$

Apliquemos esto al ejemplo $5;11;19;29;41;\ldots$

Primeras diferencias:

$$m_1 = 11-5 = 6.$$

La segunda diferencia constante es $r=2$.

Entonces:

$$m_0 = m_1 - r = 6-2 = 4.$$

$$t_0 = t_1 - m_0 = 5-4 = 1.$$

Luego:

$$a = \frac{2}{2}=1,\qquad b = 4-1=3,\qquad c = 1.$$

Por tanto:

$$t_n = n^2 + 3n + 1.$$

Comprobamos:

$$t_1 = 1+3+1=5,\quad t_2 = 4+6+1=11,\quad t_3 = 9+9+1=19.$$

Correcto.

Este método es muy útil porque evita plantear un sistema de tres ecuaciones. Solo hay que recordar que $t_0$ y $m_0$ son valores ficticios, anteriores a la sucesión visible.

¿De dónde salen estas fórmulas?

Puedes entenderlo así: en una sucesión cuadrática, las primeras diferencias forman una PA de razón $r$. Por eso, si retrocedes una casilla, la primera diferencia anterior a $m_1$ se obtiene restándole $r$. Luego, si $m_0$ es la diferencia entre $t_0$ y $t_1$, entonces $t_0 = t_1 - m_0$.

El coeficiente $a$ es la mitad de la segunda diferencia porque la segunda diferencia del polinomio $a n^2+b n+c$ es exactamente $2a$.

A veces la segunda diferencia tampoco es constante; hay que llegar a la tercera, cuarta, etc. En general, si una k-ésima diferencia es constante, la sucesión es polinómica de grado $k$.

Existe una fórmula compacta que utiliza los números combinatorios del tema anterior:

$$\boxed{ t_n = t_1 \binom{n-1}{0} + m_1 \binom{n-1}{1} + r_1 \binom{n-1}{2} + s_1 \binom{n-1}{3} + \cdots }$$

donde:

• $t_1$ es el primer término;
• $m_1$ es la primera diferencia inicial $t_2-t_1$;
• $r_1$ es la segunda diferencia inicial;
• $s_1$ es la tercera diferencia inicial;
• y así sucesivamente.

Recordemos que:

$$\binom{n-1}{0}=1,$$ $$\binom{n-1}{1}=n-1,$$ $$\binom{n-1}{2}=\frac{(n-1)(n-2)}{2},$$ $$\binom{n-1}{3}=\frac{(n-1)(n-2)(n-3)}{6}.$$

Ejemplo
Hallemos el término enésimo de:

$$4;\ 6;\ 11;\ 21;\ 38;\ \ldots$$

Formamos las diferencias:

Primeras diferencias:

$$6-4=2,\quad 11-6=5,\quad 21-11=10,\quad 38-21=17.$$

Segundas diferencias:

$$5-2=3,\quad 10-5=5,\quad 17-10=7.$$

Terceras diferencias:

$$5-3=2,\quad 7-5=2.$$

La tercera diferencia es constante. Entonces:

$$t_n = 4 + 2\binom{n-1}{1} + 3\binom{n-1}{2} + 2\binom{n-1}{3}.$$

Hallemos $t_6$:

$$t_6 = 4 + 2(5) + 3(10) + 2(10) = 4+10+30+20 = 64.$$

La sucesión continúa: $4;6;11;21;38;64;\ldots$

Esta técnica es poderosa porque permite hallar términos lejanos sin escribir toda la lista.

En los exámenes de admisión aparecen con frecuencia sucesiones que no son aritméticas ni geométricas, sino que se basan en patrones conocidos. Las más importantes son:

Las sucesiones notables pueden combinarse. Por ejemplo:

$$1;3;11;47;\ldots$$

puede interpretarse como:

$$1\times 2+1=3,\quad 3\times 3+2=11,\quad 11\times 4+3=47,\quad 47\times 5+4=239.$$

Es decir, la operación cambia con cada paso: se multiplica por $2,3,4,5,\ldots$ y se suma $1,2,3,4,\ldots$

Otra combinación frecuente es alternar dos sucesiones: una para los términos de lugar impar y otra para los de lugar par. Por ejemplo:

$$1;4;3;8;5;12;7;\ldots$$

Los lugares impares son $1;3;5;7;\ldots$ y los pares son $4;8;12;\ldots$

Estrategia ante una sucesión combinada:

1. Observa si los términos crecen o decrecen.
2. Prueba si las primeras diferencias son constantes (PA) o si los cocientes son constantes (PG).
3. Si no, calcula segundas diferencias.
4. Si no hay patrón lineal ni cuadrático, busca potencias, factoriales, primos, Fibonacci o combinaciones de operaciones.

Muchos problemas de admisión no piden simplemente hallar un término en una PA o PG aislada, sino que combinan ambas. La idea es la siguiente:

• Si tres términos $a;b;c$ están en PA, entonces: $$2b = a+c.$$
• Si tres términos $a;b;c$ están en PG, entonces: $$b^2 = ac.$$

Además, para representar una PA de tres términos, conviene a veces usar:

$$a-r;\ a;\ a+r.$$

Y para una PG de tres términos:

$$\frac{a}{q};\ a;\ aq.$$

Método general para resolver problemas de relaciones entre progresiones:

1. Nombra las incógnitas.
2. Traduce cada condición de PA o PG a una ecuación.
3. Resuelve el sistema.
4. Verifica los resultados.

Este tipo de preguntas muestra que no basta conocer las fórmulas por separado: hay que saber traducir la información de una progresión a otra.

Interpretación geométrica de la relación entre PA y PG

Un detalle útil: en una PA, la relación entre términos es aditiva; en una PG, la relación es multiplicativa. Por eso, cuando un problema combina ambas, suele plantearse una ecuación lineal (por la PA) y una cuadrática (por la PG). No hay que asustarse por la ecuación cuadrática; generalmente se simplifica.

Hallar la razón en una PA conociendo dos términos

Si conocemos $a_p$ y $a_q$ con $q>p$, podemos hallar $r$ sin conocer $a_1$:

$$\boxed{r = \frac{a_q - a_p}{q-p}}$$

Justificación: de $a_p$ a $a_q$ hay $q-p$ saltos de longitud $r$.

Ejemplo
Si $a_4=17$ y $a_{10}=41$, entonces:

$$r = \frac{41-17}{10-4} = \frac{24}{6} = 4.$$

Hallar la razón en una PG conociendo dos términos

Si conocemos $a_p$ y $a_q$, entonces:

$$\boxed{q^{q-p} = \frac{a_q}{a_p}}$$

Ejemplo
Si $a_2=6$ y $a_5=162$, entonces:

$$q^{3} = \frac{162}{6}=27,$$

así $q=3$.

Interpolación de medios aritméticos

Interpolar $k$ medios aritméticos entre dos números $a$ y $b$ significa formar una PA de $k+2$ términos, cuyo primer término es $a$ y el último es $b$. La razón es:

$$\boxed{r = \frac{b-a}{k+1}}$$

Interpolación de medios geométricos

De manera similar, interpolar $k$ medios geométricos entre $a$ y $b$ da una PG de $k+2$ términos. La razón es:

$$\boxed{q = \sqrt[k+1]{\frac{b}{a}}}$$

Número de términos de una PA

Si se conocen $a_1$, $a_n$ y $r$, el número de términos es:

$$\boxed{n = \frac{a_n-a_1}{r}+1}$$

Estas fórmulas se usan en problemas de aplicación y en algunos de planteo.

Aunque el temario central son las progresiones y sucesiones numéricas, en Razonamiento Matemático también aparecen sucesiones con letras. La clave es asociar cada letra con su posición en el alfabeto. En el alfabeto español:

$$A=1,\ B=2,\ C=3,\ \ldots,\ Z=27.$$

Ejemplo
Hallemos la letra que sigue en:

$$B;C;E;G;K;\ldots$$

Posiciones:

$$B=2,\ C=3,\ E=5,\ G=7,\ K=11.$$

Estos son números primos. El siguiente primo es $13$, que corresponde a la letra $M$.

Sucesiones alfanuméricas combinan números y letras. Por ejemplo:

$$1B;\ 3E;\ 5H;\ 7K;\ \ldots$$

Los números avanzan de $2$ en $2$. Las letras avanzan de $3$ en $3$ en el alfabeto: $B=2$, $E=5$, $H=8$, $K=11$. El siguiente sería:

$$9N.$$

La regla práctica es analizar por separado la parte numérica y la parte literal.