Situaciones geométricas

Una situación geométrica se resuelve traduciendo el dibujo a datos numéricos. Para lograrlo conviene hacer tres cosas:

1. Identificar qué se pide: un área, una longitud total, una pendiente, una suma infinita.
2. Reconocer qué información da la figura: radios, lados, ángulos rectos, puntos medios, simetrías, perpendicularidad.
3. Elegir la operación adecuada: sumar, restar, multiplicar una fracción, aplicar una fórmula de área o usar una serie geométrica.

A continuación desarrollamos los tipos más frecuentes.

Las regiones sombreadas casi nunca vienen como una figura completa. Por eso, la habilidad principal es componer y descomponer superficies.

Estrategias básicas

Las estrategias más usadas son:

• Diferencia: el área sombreada puede ser el área de una figura mayor menos el área de una o varias figuras menores.
• Suma: la región sombreada puede estar formada por varias figuras simples que se suman.
• Traslación mental: a veces conviene mover mentalmente una parte de la región sombreada para formar una figura simple.
• Simetría: en figuras simétricas, varias regiones sombreadas pueden tener la misma área.

Por ejemplo, si en un cuadrado de lado $2r$ se inscribe un círculo, la región exterior al círculo pero interior al cuadrado tiene área $$(2r)^2 - \pi r^2 = 4r^2 - \pi r^2.$$

Este es el tipo de razonamiento más simple: total menos parte no sombreada.

Círculos y sectores circulares

Cuando aparecen círculos, las áreas sombreadas suelen ser fracciones del círculo.

Un círculo completo tiene $360^\circ$. Entonces:

• un cuarto de círculo tiene área $\frac{\pi R^2}{4}$;
• una mitad de círculo tiene área $\frac{\pi R^2}{2}$;
• un sector de $60^\circ$ tiene área $\frac{\pi R^2}{6}$.

Muchas veces la región sombreada no es un sector completo, sino la diferencia entre un sector y un triángulo. En esos casos conviene recordar que, si dos radios forman un ángulo central, el segmento circular correspondiente se obtiene restando el triángulo del sector.

No todos los problemas piden área. Algunos piden la longitud total de un listón, el perímetro de una figura o la suma de varios segmentos.

En estos casos, la idea es:

1. Asignar variables a las longitudes que no se conocen.
2. Usar las relaciones geométricas para encontrar esas longitudes.
3. Sumar todos los segmentos que forman la figura.

Diagonales, lados y puntos medios

Si una figura tiene diagonales que se cruzan perpendicularmente, conviene recordar que las diagonales se bisecan. En un rombo, por ejemplo, si las diagonales miden $D$ y $d$, entonces cada mitad mide $D/2$ y $d/2$, y el lado $L$ del rombo cumple $$L = \sqrt{\left(\frac{D}{2}\right)^2 + \left(\frac{d}{2}\right)^2}$$ por el teorema de Pitágoras.

Cuando aparecen puntos medios, cada punto divide un segmento en dos partes iguales. Unir puntos medios suele formar segmentos más pequeños y figuras semejantes a las originales.

En problemas con triángulos rectángulos isósceles, los catetos son iguales y los ángulos agudos miden $45^\circ$. Si se conoce la hipotenusa $c$, cada cateto mide $$\frac{c}{\sqrt{2}}.$$

Un tipo de pregunta frecuente es: ¿cuántos círculos iguales caben en un rectángulo?

El error más común es dividir el área del rectángulo entre el área de un círculo. Eso solo da una cota superior, porque los círculos no llenan todos los huecos.

Para resolver correctamente hay que analizar la posición de los centros.

Lo que debes saber para acomodar círculos

Si un círculo de radio $r$ se coloca dentro de un rectángulo:

• Su centro debe estar al menos a una distancia $r$ de cada borde.
• Dos círculos que se tocan tienen sus centros separados una distancia $2r$.
• Si los centros están alineados en filas y columnas, la separación vertical entre filas es al menos $2r$.
• Existe una disposición más compacta, llamada disposición triangular o hexagonal, en la cual los centros de una fila se ubican en los huecos de la fila anterior. En ese caso, la separación vertical entre filas puede reducirse a $$r\sqrt{3}.$$

Según las dimensiones de la bandeja, la disposición triangular puede permitir colocar más círculos que la disposición cuadrada.

Muchas situaciones geométricas se plantean en el plano cartesiano. En esos problemas, la pendiente es una forma de medir la inclinación de una recta.

Pendiente entre dos puntos

Para dos puntos $P(x_1;y_1)$ y $Q(x_2;y_2)$, la pendiente es: $$m = \frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}.$$

La pendiente indica cuánto sube la recta por cada unidad horizontal. Si $m>0$, la recta sube de izquierda a derecha; si $m<0$, baja.

Rectas paralelas y perpendiculares

• Si dos rectas son paralelas, sus pendientes son iguales: $$m_1 = m_2.$$
• Si son perpendiculares, el producto de sus pendientes es $-1$: $$m_1m_2 = -1.$$

Por ejemplo, si una recta tiene pendiente $-\frac{2}{7}$, una perpendicular tendrá pendiente $\frac{7}{2}$, porque $$-\frac{2}{7} \cdot \frac{7}{2} = -1.$$

Recta que pasa por el origen

Si una recta pasa por el origen $O(0;0)$ y por un punto $P(a;b)$, su pendiente es simplemente $$m = \frac{b-0}{a-0} = \frac{b}{a}.$$

Esto es muy útil cuando la recta es perpendicular a otra de pendiente conocida. De la condición de perpendicularidad se obtiene el cociente $b/a$, y con ello se pueden hallar razones, coordenadas o áreas.

Cuando los puntos están en el plano cartesiano, el área de un triángulo puede calcularse identificando una base horizontal o vertical y su altura correspondiente.

Distancia y pertenencia a una curva

Si un punto pertenece a una curva como $y=x^2$, sus coordenadas no son libres: son de la forma $$(x;x^2).$$

Además, su distancia al origen es $$\sqrt{x^2 + y^2} = \sqrt{x^2 + (x^2)^2}.$$

Esta relación permite encontrar las coordenadas cuando se conoce la distancia al origen.

Área de un triángulo en coordenadas

En muchos casos, conviene observar si dos puntos comparten la misma ordenada. Si dos vértices están sobre una recta horizontal, la base es la diferencia de sus abscisas y la altura es la diferencia vertical hasta el tercer vértice.

Por ejemplo, si los vértices son $(-a;c)$, $(a;c)$ y el origen, entonces la base mide $2a$ y la altura mide $c$. El área es $$\frac{1}{2}(2a)(c) = ac.$$

En las preguntas de secuencias geométricas, se muestran figuras que siguen un patrón. Puede ser una sucesión finita o infinita.

Cómo cambiar de longitud a área

El error más común en este tipo de problemas es aplicar la misma razón de reducción a las longitudes y a las áreas. Eso no es correcto.

Si una figura se reduce de modo que una longitud suya se multiplica por un factor $r$, entonces el área se multiplica por $$r^2.$$

Por ejemplo, si el radio de un círculo se reduce a la mitad, su área se reduce a la cuarta parte, no a la mitad.

Sucesión de sectores circulares

Considera una sucesión de sectores circulares en la que cada sector nuevo tiene la mitad del ángulo y la mitad del radio del anterior.

El área de un sector, usando radianes, es $$A = \frac{1}{2}\theta R^2.$$

Si el ángulo se divide entre $2$ y el radio también se divide entre $2$, el área nueva es $$\frac{1}{2} \left(\frac{\theta}{2}\right) \left(\frac{R}{2}\right)^2 = \frac{1}{8} \cdot \frac{1}{2}\theta R^2.$$

Por lo tanto, la razón entre áreas consecutivas es $r=\frac{1}{8}$. Como esta razón es menor que $1$, la suma infinita se calcula con $$S = \frac{a_1}{1-\frac{1}{8}} = \frac{a_1}{\frac{7}{8}} = \frac{8a_1}{7}.$$

Secuencias de figuras planas

También hay secuencias en las que una figura se construye a partir de la anterior. Por ejemplo, si se unen los puntos medios de los lados de un cuadrado, el nuevo cuadrado no tiene la mitad del lado, sino un lado igual a $L/\sqrt{2}$. Por lo tanto, su área es la mitad del área original.

En estos casos conviene siempre expresar la razón de áreas, no la razón de lados, y luego decidir si se usa suma finita o infinita.